Back testing

Puisque la VaR est un indicateur de risque qui permet aussi de calculer le minimum de fonds propres alloués au risque ou capital risque, les instances régulatrices ont adopté, en plus des critères de degré de confiance, de la période de détention…, des tests que doivent vérifier les modèles VaR. parmi ces tests se trouve le Back testing qui permet de valider la pertinence de ces modèles, c’est-à-dire l’adéquation de la VaR aux risques effectivement supportés . Selon les modèles, le Back testing peut prendre des formes différentes . Il s’agit, par exemple, de vérifier que le pourcentage de défauts par tranche de risque ne s’écarte pas du pourcentage prévu. Il s’agit aussi de s’assurer que le nombre de dépassements de la limite fixée par la VaR au cours du temps ne dépasse pas un certain seuil. Dans cette partie nous allons d'abord présenter le Back testing basé sur le modèle binomial proposé par l’accords de Bales de 1996 et le Back testing fondé sur la prévision des distributions. 1- Back testing basé sur le modèle binomial L'idée de base est simple. Par définition la VaR sur un horizon d'un jour à 99% est la perte maximale que l'on pourrait subir dans les conditions normales de marché. Cela veut donc dire que la probabilité que la perte effective soit supérieure à la VaR est de 1% ; autrement dit sur 100 estimations de VaR, nous devons observer une seule exception. Soit Lt la distribution des pertes et profits à l'instant t. Et posons la Bernoulli définie de la façon suivante : On a donc P (It = 1) = p et P (It = 0) = 1- p Soit n le nombre de jours sur lesquels nous effectuons le Back testing. Les autorités de surveillance préconisent un Back testing sur n =250. La variable aléatoire définie le nombre de dépassements de la VaR. Elle suit une loi binomiale B (n, p) dont l'espérance mathématique et la dispersion sont respectivement : et Lorsque n est très grand et p très faible, la loi binomiale peut être approximé par une loi normale et l'on définie un intervalle de confiance à 99% du nombre des exceptions comme suit : Avec p (z > z0.005) = 0.01 - Pour n = 1000 et p =0.01 le nombre de dépassements se trouve entre 1.896 et 18.014 avec une erreur de l%. Ceci dit pour un Back testing sur 1000 jours le nombre des exceptions doit être compris entre 2 et 18. Si tel n'est pas le cas alors il faudra revoir le modèle. - Pour n =250 et p =0.01 le nombre des exceptions est compris approximativement entre 1 et 4. Par conséquent les instances de surveillance acceptent les modèles dont le nombre des exceptions est inférieur ou égal à 4. Cependant si ce nombre est élevé, une pénalité sera appliquée d’ou l’imposition d’une charge supplémentaire de fonds propres. Ce qui se reflète sur le coefficient de pénalité ou le facteur d’accroissement « increase in k ». Le tableau suivant indique les facteurs d’accroissements, selon le nombre des exceptions : Zone Nombre Des exceptions Facteur d’accroissement k Vert 0 à 4 0.00 Jaune 5 6 7 8 9 0.40 0.50 0.65 075 0.85 Rouge 10+ 1.00 Tableau 3 : Zones des pénalités de BALE Le tableau précédent montre que si le nombre de violations de la VaR ne dépasse pas 4 sur les 250 jours nous sommes alors dans la zone verte et le facteur multiplicatif est de trois ce qui signifie que les besoins en fonds propres sont trois fois supérieur à la VAR. ce facteur devient 4 si le nombre de violations de la VAR dépasse 9, on multiplie alors VAR par quatre. Dans ce cas la banque devrait revoir son modèle de gestion du risque. Si le nombre de ces exceptions atteint ou dépasse 10, les autorités de supervision ordonnent l’audit du modèle de VaR utilisé, demandent aux banques de reporter et d’expliquer les raisons de ces écarts. et, le cas échéant, peuvent retirer l’agrément du modèle interne . 2- Back testing basé sur la prévision des distributions (Le Test de Kupiec) Afin de pouvoir comparer plusieurs méthodes de calcul de la VaR, nous allons utilisé la définition précédente du Back testing, et construire un intervalle de confiance bilatérale. On défini également l’échantillon d’estimation utilisé pour estimer le modèle en question, et prédire la VAR du portefeuille, et l’échantillon d’évaluation pour évalué le modèle obtenu. Nous allons également calculer le nombre de jours dans l’échantillon d’évaluation où la pertes du portefeuille est supérieure à ce que le laisser prédire la VAR. La division de ce nombre par la taille de l’échantillon, nous fournira le « failure-rate ». Par la suite de cette grandeur sera compare aux quantile p à gauche de la distribution, utilisé pour le calcul de la VAR. Si ces deux grandeurs se rapprochent, notre prévision de la VaR du portefeuille est précise, dans le cas contraire, le modèle doit être rejeté. Kupiec a développé un test de rapport de vraisemblance « log-likelihood ratio » afin de pouvoir rejeter ou de retenir le modèle de la value-at-risk. Soit N le nombre de fois ou la perte du portefeuille et supérieur à la VaR dans un échantillon de taille T. Idéalement le rapport N/T doit être égale au quantile de gauche p, ce qui permet de définir l’hypothèse suivante : On définit la statistique du rapport de vraisemblance Sous l’hypothèse nulle, la statistique LR suit un khi-deux à un degré de liberté. Pour un niveau de confiance c nous pouvons construire un intervalle de confiance qui indiquera si le modèle doit être rejetée ou pas. Le tableau suivant indique les régions d’acceptation pour différentes valeurs du quantile et de la taille T : Quantile Taille de l’échantillon d’évaluation Probabilité 250 500 750 1000 5.00% 1.00% 0.50% 0.10% 0.01% 7≤N≤19 1≤N≤6 0≤N≤4 0≤N≤1 0≤N≤0 17≤N≤35 2≤N≤9 1≤N≤6 0≤N≤2 0≤N≤0 27≤N≤49 3≤N≤13 1≤N≤8 0≤N≤3 0≤N≤1 38≤N≤64 5≤N≤16 2≤N≤9 0≤N≤3 0≤N≤1 Tableau 4 : Régions d’acceptation du test de Kupiec A titre d’exemple, pour un échantillon d’évaluation de 250 jours, et un quantile de 1%, tel que c’est défini par le comité de Bâle, la valeur critique du test, est égale à 6 au niveau de confiance 95 %. Le modèle de la VaR doit être rejetée si le nombre de violations est supérieur à 6 pour 250 séquences jours ouvrables.