L’approche de la Value-at-Risk

La VaR se définit comme la perte maximale qu’une institution est susceptible d’encourir sur son portefeuille de négociation, à la suite de mouvements des prix et taux du marché, sur un horizon de temps donné avec une probabilité donnée et compte tenu de certaines hypothèses concernant ce portefeuille . Ce concept a été conçu par les institutions financières pour gérer et mesurer leur risque de marché en se basant sur la perte de portefeuille qui peut résulter de modifications défavorables des facteurs de marché. Après il est adapté au traitement d’autres types de risque tel le risque de crédit, le risque de liquidité et le risque opérationnel. I- Aperçue historique A- L’expression Value-at-Risk A la fin des années 80 on a parlé de “dollars-at-risk” (DaR), “capital-at-risk” (CaR), “income-at-risk” (IaR), “earnings-at-risk” (EaR) and “value-at-risk” (VaR). Tout cela trahit à la fois la vogue du concept de risque et l’indécision sur ce qui y était exposé. Finalement le terme value est le plus général. Après une phase d’incertitude, le rapport du G30 en 1993 puis la publication du RiskMetrics par JP Morgan en 1994, ont stabilisé la dénomination “value-at-risk”, qui représente la perte potentielle maximale d'un investisseur sur la valeur d'un actif ou d'un portefeuille d'actifs financiers compte tenu d'un horizon de détention et d'un intervalle de confiance . B- L’histoire de la Value-at-risk Dans le cadre de la gestion des risques, les assurances et les établissements financières ont conçu des systèmes pour la maîtrise du risque, Mais à cause des faillites en cascade qui conduisant à la destruction de ces systèmes le régulateur intervient pour fixer un cadre légal de référence, surtout en matière bancaire ou le risque de crédit et le risque de marché sont plus délicats à modéliser. Depuis les années 20, les marchés financiers aux Etats-Unis, exigent des réserves, mais à partir de 1980, la SEC (Securities and Exchange Commission) a mis en place un nouveau système de garantie dont le but s’exprime clairement, pour la première fois, en termes de VaR. En 1994, après une forte concurrence entre les institutions qui travaillent au même temps sur leur propre modèle interne de gestion des risques, la banque américaine J.P. Morgan a imposé son modèle appelé RiskMetrics en décidant de le rendre public et en mettant les données nécessaires au calcul de la VaR disponibles gratuitement sur Internet . Les autres établissements financiers et les entreprises pouvaient utiliser le calculateur de VaR de RiskMetrics ou télécharger les données sur leurs propres systèmes de gestion des risques. Très vite sont apparus de nouveaux fournisseurs de programmes de gestion des risques exploitant RiskMetrics, transformant cette méthodologie en référence incontournable En 1996, la VaR est validée par le Comité de Bâle comme la mesure du risque agrégé. Désormais le régulateur n’impose pas forcément sa mesure, il peut se contenter de certifier les méthodes ou les procédures plutôt que les évaluations elles-mêmes, bref les métriques plutôt que les mesures. Le but de la réglementation est alors non seulement de maîtriser effectivement le risque des établissements de crédit et des intervenants sur les marchés financiers mais aussi de permettre l’apparition et la diffusion des bonnes pratiques, en plus de la décentralisation de l’évaluation des risques. II- La mise en ouvre de la VaR A- Les paramètres de la Value-at-risk La VaR d’un portefeuille dépend de trois paramètres :  La distribution de variable considérée,  La période de détention sur laquelle on désire mesurer la VaR,  Le degré de confiance qu’on veut avoir, ce niveau est égal à 1 moins la probabilités des événements défavorables. Ce niveau dépend de l’aversion au risque du propriétaire du portefeuille. 1- La distribution de la variable considérée Le calcul de la VaR commence toujours par une collecte de données. En effet, l'institution financière doit disposer de données non seulement sur son portefeuille actuel mais également sur les prix et taux du marché. De même, toutes les méthodes VaR requièrent l'estimation de certains paramètres. En général, si on utilise l’écart type ou la variance comme mesure du risque et si l’on veut que cette mesure de risque soit pertinente pour tous les décideurs, quelle que soit leur fonction d’utilité, seule la distribution normale permet de le faire puisque toute l’information sur tous les moments de la distribution est contenue dans la moyenne et dans la variance. En plus, pour les risques de marché et pour les portefeuilles bien diversifiés, on peut vérifier que les rendements suivent une loi normale. Même si la distribution normale est très restrictive car elle ne satisfait pas à toutes les banques de données. 2- La période de détention La période de détention appropriée pour tout marché correspond à l'intervalle de temps nécessaire pour assurer la liquidation des positions sur ce marché. Différents facteurs affectent le choix de l'horizon : - La composition du portefeuille, pour un portefeuille non linière ; qui contient des instruments financiers dont le prix ne varie pas linéairement avec les facteurs de risque comme l’option, supposer l’hypothèse de normalité de taux de rendement est une approximation n’est justifier que lorsque l’horizon de risque choisi est relativement court. En plus cette composition doit rester inchangée durant la période de détention choisie surtout pour des périodes courtes puisque les positions peuvent varier très fréquemment. - La liquidité de marché, par exemple le temps pour assurer la liquidation des positions sur un marché organisé s’avère plus court que dans un marché non organisé. - Le choix de l'horizon de risque dépend aussi du calendrier des conseils d'administration, des publications obligatoires, de l'évaluation des performances des employés, etc. Dans la pratique la plus part des banques commerciales utilisent un horizon d’un jour pour leur gestion interne, et la VaR pour un horizon différent par exemple de 10 jours peut être approximer en multipliant la VaR quotidienne par la racine carré de cet horizon : Par exemple si VaR(1j; 99%) = 100 VaR(10j; 99%) ≈ 316.23 3- Le degré de confiance Le degré de confiance est la probabilité pour laquelle le changement de valeur position sera inférieur à l'estimation de la Var. Dans la pratique, la VaR est estimée sur base de degrés de confiance allant de 90 à 99 %. Notons toutefois qu'une institution n'est absolument pas obligée de travailler avec un seul niveau de probabilité. Elle pourrait donc utiliser le degré de confiance approprié à l'objectif poursuivi. Bien qu’il soit plus arbitraire, le degré de confiance dépend de plusieurs facteurs : - Dans l’objectif de fiabilité du système interne de gestion du risque, il vaut mieux ne pas choisir un degré de confiance trop élevé pour lequel une perte supérieure à la VaR s'observe rarement. - Le degré de confiance doit refléter le degré d'aversion des gestionnaires au risque associé à des événements extrêmes et le coût d'une perte supérieure à la VaR. Plus cette aversion est élevée et ces coûts importants, plus les gestionnaires désirent détenir suffisamment de fonds propres pour couvrir des rendements très bas et donc plus ils choisiront un degré élevé de confiance dans le calcul de la VaR. - La VaR peut également être utilisée pour comparer les risques de différentes institutions ou sur différents marchés. Dans ce cas, le degré de confiance en lui-même n'a pas d'importance du moment qu'il est identique. En effet, cela n'a aucun sens de comparer deux nombres VaR calculés à des niveaux différents de probabilité. - Le choix de degré de confiance dépend aussi de la tolérance du conseil d’administration d’une institution face à une probabilité faible d’avoir des pertes extrêmes versus une probabilité élevée de pertes modestes, la réserve en capital de la banque, le niveau d’expérience des gestionnaires et des employés et bien entendu la stratégie d’investissement de l’institution. De manière générale, La plupart des institutions financières choisissent, pour leur gestion interne, une période de détention de un jour ouvrable et un degré de confiance de 95 % . B- Le calcul de la Value-at-risk La valeur de marché du portefeuille de négociation d'une institution financière à l'issue de l'horizon de temps choisi est incertaine puisqu'elle dépend des fluctuations des facteurs de marché sous-jacents. L'ensemble des valeurs futures possibles du portefeuille forment une distribution statistique. Celle-ci constitue la base sur laquelle la VaR est estimé. 1- La Value-at-risk d’un actif individuel Pour calculer la VaR d’un actif individuel, l’institution financière doit construire la distribution de probabilité d’une variable aléatoire à la fin de la période de détention choisie. Les variables aléatoires habituellement considérées sont la perte ou bien le taux de rendement futur, qui sont supposées être distribuées selon la loi normale . Cas1 : La perte suit la loi normale Soit V0 la valeur aujourd’hui (date 0) d’un actif individuel, Vt sa valeur à l’horizon t (par exemple t = 1 jour) et Pt la perte que peut subir cet actif entre la date 0 et la date t. Pt est égale à la différence entre la valeur V0 de la position aujourd’hui et sa valeur Vt à l’horizon t : Pt = V0 − Vt Supposons que Pt est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance E(Pt) et d’écart type σ(Pt). La VaR est la perte que risque de subir cet actif à un horizon donné et à un certain niveau de probabilité c p (Pt ≤ VaR) = c (1) Cette équation exprime que la perte sera inférieure ou égale à la VaR avec une probabilité c. L’interprétation graphique de la VaR est donnée par la Figure au dessous, qui représente la densité de probabilité de la perte Pt. La surface colorée, présumée égale à 1- c, est la probabilité que cette perte soit supérieure à VaR. Figure 3 : Représentation graphique de la VaR au seuil c Remarque La VaR peut être représenté graphiquement comme suit : Figure 4 : Représentation graphique de la VaR au seuil c (2) En transformant la variable aléatoire Pt, en une variable standard (centré réduite) nor¬male zt, la relation (1) devient : Par conséquent, Ou α est obtenu à partir des tables de la loi normale réduite. D’où nous pouvons calculer la VaR : (2) Les valeurs α peuvent être calculées à partir de la table de la loi Normale ou à l’aide de la fonction Excel « LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE » car : α = F(c) Avec F est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : Probabilité c Valeur α 99% 2,326348 95% 1,644854 90% 1,281552 Tableau 2 : Les quantiles de la loi normale centré réduite Et du fait de la symétrie de la distribution normale, on a F(1-c) = - α C'est-à-dire α1-c = -αc. Par exemple pour c = 5%, on a α0.05 = -α0.95 = -1,644854 Exemple : La VaR d’une action Supposons une action avec une perte attendue à la période t de 100 et un écart type de 20. Nous avons alors E( Pt ) = 100 et σ( Pt ) = 20. La VaR de cette action au seuil de 5% est : VaR = ασ(Pt) + E(Pt) = 1,64 x 20 + 100 = 132.8 Cas2 : Le taux de rendement suit la loi normale Soit V0 la valeur aujourd’hui (date 0) d’un actif individuel, Vt sa valeur à l’horizon t (par exemple t = 1 jour) et Rt le taux de rendement futur de cet actif. Où Pt est le facteur de risque sous-jacent. Lorsque l’horizon est plus long, le taux de rendement géométrique est plus souvent utilisé même si la différence entre ces deux types de taux est généralement faible. Supposons que Rt est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance E(Rt) et d’écart type σ(Rt). Pour que la perte Pt = V0 − Vt soit maximale, il faut que la valeur Vt soit minimale et puisque Vt = V0 (l+Rt), donc il faut que le taux Rt soit minimum. Soit V* la valeur minimale à un niveau de confiance c donné, et R* est le taux de rendement minimum de cet actif, On a V’ = V0 (l+R*) Donc la perte maximale que peut subir cet actif est : Pt = V0 - V’= -V0R* La VaR journalière à c% de confiance de cet actif se calcule de la façon suivante : p (Rt ≤ R*) = 1-c En transformant la variable aléatoire Pt, en une variable standard nor-male zt, l’expression devient : Par conséquent, D’où : Dans ce cadre, la VaR est : (3) Remarque Les relations (2) et (3) sont équivalentes puisque: Pt = V0 – Vt = -V0Rt Donc et La seule différence entre ces deux relations est que la relation (3) exprime la VaR en fonction des paramètres de la distribution de la rentabilité Rt plutôt que de celle de la perte Pt. Exemple : La VaR d’un portefeuille composé d’un seul type de titre Soit un portefeuille de négociation constitué de titres gouvernemen¬taux pour un montant de 100 millions dont il faut calculer la VaR sur un horizon de 1 jour avec une probabilité de 95%; le taux de rendement R de ces titres est supposé être distribué selon une loi standard normale, avec un rendement journalier moyen nul et un écart-type journalier de 1. L’objectif est de déterminer la perte journalière maximale dans 95 % des cas, c’est-à-dire le seuil R’ sous lequel le taux de rendement R des titres gouvernemen¬taux ne tombera que dans 5 % de cas : D’après la table de la loi normale réduite, α = 1,64. On a E(Rt) = 0 et σ(Rt) = 1 Donc la VaR de ce portefeuille est : VaR = αV0 = 1.64x100 000 000 Enfin la VaR égale à 164 millions à un niveau de confiance de 95 % Figure 5 : Représentation graphique de la VaR au seuil de 5% La VaR correspond au premier quantile à 5 % de la distribution du rendement du portefeuille considéré : elle est le seuil sous lequel se trouve 5 % de la distribution. 2- La Value-at-risk d’un portefeuille d’actions Un portefeuille est généralement constitué d’un grand nombre de titres. Pour en estimer la VaR, la distribution du taux de rendement futur du portefeuille dans son ensemble Rp doit être déterminée. Celle-ci est construite sur base des distributions des actifs composant ce portefeuille. Selon la théorie de portefeuille, le rendement attendu du portefeuille est simplement la moyenne pondérée des rendements attendus des différents actifs repris dans le portefeuille, les poids étant la proportion de chaque actif dans le portefeuille au début de la période. Par exemple pour un portefeuille p composé de N titres et défini par les poids (x1, … ,xN) de ces titres. si Ri est la rentabilité du titre i et Rp celle du portefeuille on peut écrire : . Par contre, le risque du portefeuille σp ne correspond généralement pas à la moyenne pondérée des risques des actifs individuels le composant σi. Avec σij est la covariance entre les rendements des actifs i D'où La distribution du taux de rendement futur du portefeuille est donc construite en agrégeant les distributions des actifs individuels composant le portefeuille de négociation et en tenant compte des corrélations entre les actifs. La VaR de l’ensemble du portefeuille de négociation est dérivée du quantile choisi de cette distribution. Ainsi définie, elle tient explicitement compte de l’interdépendance entre les rendements des titres. Si tous les taux de rendement Ri suivent une distribution normale, leurs VaRi s'obtiennent de façon similaire (voir relation (3)) en fonction du montant investi Vi, du degré de confiance c représenté par α, de E(Ri) et de σ(Ri). Le portefeuille ne contenant que des variables normales, son taux de rendement est lui-même distribué normalement avec un écart-type σp et une espérance supposée négligente. La VaR journalière à c % du portefeuille s'exprime dès lors simplement sur base du risque du portefeuille comme étant : Où Vp représente le montant total investi, c'est-à-dire Remarque: Il est également possible d'exprimer la VaR du portefeuille en fonction des VaR individuelles: La VaR du portefeuille est simplement fonction des VaR des actifs individuels sous-jacents et des corrélations entre les actifs composant le portefeuille. Exemple : La VaR d’un portefeuille d'actions Considérons un portefeuille d'actions dont la valeur aujourd’hui est de 100 ; supposons que, sur un jour ouvré, sa rentabilité arithmétique R1j soit distribuée normalement de moyenne 0,4% et d’écart type 5%, donc P1j tel que P1j =V0 - V1j = -V0R1j est distribué normalement avec une moyenne de -100×0,004 = -0,4 et un écart-type de 100×0,05 = 5. On peut donc écrire : VaR(1j, 5%) = 5α - 0,4 = 1,64×5 - 0,4 = 7,8 Ou bien: VaR(1j, 5%) = V0 (5%α - 0,4%) = 100×(1,64×5% - 0,4%) = 7,8. Ce qui implique que la probabilité que ce portefeuille subisse une perte quotidienne supérieure à 1 million est moins de 2.5%. III- Les différentes utilisations de la VaR A- Gestion interne du risque de marché La gestion du risque au sein des entreprises financières évolue sans cesse, au gré des tendances générales du marché et des avancées théoriques et techniques. La méthode de gestion interne du risque de marché actuellement la plus répandue dans ce domaine repose sur le concept de VaR. 1- L’utilisation de la VaR pour mesurer le risque de marché Définir et mesurer le risque de marché n’est pas une tâche simple pour les institutions financières. En premier lieu, une mesure du risque de marché pertinente doit être applicable non seulement pour un instrument financier en particulier mais également aux portefeuilles de ces mêmes instruments ou d’instruments reliés ainsi qu’aux portefeuilles contenant une variété d’instruments différents avec leurs risques sous-jacents. En second lieu, une mesure du risque de marché adéquate doit pouvoir tenir compte de tous les facteurs de risque possibles, par exemple une variation de prix, la convexité, la volatilité, la corrélation, la perte de valeur due au temps, le taux d’actualisation, etc. Troisièmement, la mesure doit considérer ces facteurs de risque de manière cohérente et logique; ces facteurs doivent être réunis en un dénominateur commun qui mesure le risque de marché de chaque instrument ainsi que le risque agrégé du portefeuille total. Finalement, la mesure du risque de marché doit être facilement compréhensible par les gestionnaires n’ayant pas de connaissances précises sur le sujet et doit aider à contrôler le risque de marché. La VaR est une mesure qui semble satisfaire à ces critères. Dans le cadre de modèle interne, pour le calcul de cette valeur, le Comité de Bâle a fixé une série de paramètres statistiques minimaux que les banques doivent respecter, voilà quelque uns : - La perte potentielle est calculée quotidiennement. - Le niveau de confiance unilatéral requis est de 99%. - Il est appliqué un choc instantané sur les prix équivalent à une variation sur dix jours correspondant à une période de détention de dix jours ouvrés. - La période d’observation (échantillon historique) pour le calcul de la perte potentielle doit être au minimum d’un an - Les établissements doivent mettre à jour leurs séries de données au moins une fois tous les trois mois et plus fréquemment en cas d’accroissement notable des volatilités observées. 2- L’utilisation de la VaR pour le contrôle prudentiel des fonds propres. L’environnement économique et financier des institutions financières s'est fortement modifié en particulier le développement rapide des produits dérivés ce qui a poussé les régulateurs bancaires à reconsidérer leur méthode de régulation et à étendre les exigences de fonds propres au risque de marché. 2.1- La définition des fonds propres L'accord de Bâle de 1998 concernant le risque de marché cite trois catégories d'éléments pouvant être inclus dans le calcul des fonds propres obligatoires. Les deux premières apparaissaient déjà dans l'accord de 1988, la troisième est exclusivement destinée à couvrir le risque de marché : - La première catégorie de fonds propres, dite les fonds propres de base, comprend le capital social et les bénéfices non distribués. - La deuxième catégorie dite les fonds propres supplémentaires, contient les réserves non publiées, les réserves de réévaluation, les provisions générales, les instruments de financement hybrides dette/capital et la dette subordonnée à long terme. - La troisième catégorie est la dette subordonnée à court terme qui permet de couvrir le risque de marché. Le Comité de Bâle mentionne également le fait que : • Les fonds propres de la deuxième catégorie ne peuvent excéder les fonds propres de la première catégorie • la dette subordonnée à long terme ne peut pas dépasser 50 % du total des fonds propres de base (première catégorie). • les fonds propres de la troisième catégorie sont limités à 250 % des fonds propres de la première catégorie affectés à la couverture des risques de marché. 2.2- Les exigences de fonds propres appliquées au risque de marché Dans ce cadre, le Comité de Bâle a proposé d'autoriser les banques, sous certaines conditions, à déterminer elles-mêmes, sur base du système interne utilisé pour leur gestion journalière, les exigences de fonds propres à appliquer au risque de marché dans le ratio de solvabilité. Concernant le montant des fonds propres, l'approche des modèles internes spécifie que les exigences régulatoires de fonds propres d'une banque à une date particulière s'élèvent au montant maximum entre, d'une part, la VaR du jour précédent et, d'autre part, la moyenne des VaR quotidiennes des 60 derniers jours ouvrés, multipliée par un facteur multiplicateur entre 3 et 4, déterminé par les autorités prudentielles. Par exemple si on note VaRt-i , la VaR à la date t-i (jour ouvré), A chaque date t, l’établissement calcule l’exigence de fonds propres FP (t) de la façon suivante : Avec 0 ≤ ε ≤ 1 Cette proposition du Comité de Bâle a été adoptée en janvier 1996, revue en 1997 et en 1998 et mise en oeuvre dès le début de l'année 1998. Par la suite, la plupart des banques centrales ont intégré la proposition de Bâle dans leur législation nationale. 3- L’utilisation de la VaR pour les simulation de crise La VaR peut être utilisé aussi pour mesurer l'exposition d’un portefeuille ou plus généralement de la banque à une forte variation de certains paramètres de marchés ou à une situation de marché exceptionnelle. On parle alors de Stress Testing . Notons que les simulations de crise font partie des normes générales d’acceptation de la méthode interne. C’est donc un point important dans la mise en place d’un modèle interne. B- Autres utilisations de la VaR Plus qu’un chiffre précis permettant de mesurer l'exposition aux risques de marché ou les exigences de fonds propres, la VaR peut être employée comme un outil stratégique pour comparer par exemple des activités ou analyser des performances. Elle est aujourd’hui un paramètre significatif des prises de décision stratégiques de la plupart des institutions financière Les chiffres VaR dans les rapports annuels doivent alors être interprétés comme le signe positif que la banque peut à la fois identifier et gérer ses risques plutôt que comme une mesure exacte de l’exposition de la banque aux risques de marché. L'interprétation de ces chiffres exige une compréhension totale des hypothèses se trouvant derrière ce chiffre ainsi que la validité de ces mêmes hypothèses. Tout comme le senior management dans une banque, si un analyste financier n'est pas familier avec ces hypothèses, certains risques peuvent passer inaperçus. La simplicité d'un chiffre unique, représentatif du risque, peut alors entraîner de mauvaises interprétations. Aujourd'hui, le concept de VaR est utilisé par les grandes banques pour évaluer le risque des activités de marchés, et il trouve peu à peu sa place dans la gestion de fonds et la trésorerie d'entreprise. On tente maintenant de rendre universel cet outil de mesure du risque et en particulier de l'appliquer au risque de crédit. Mais le mouvement de généralisation de la VaR dans ce domaine prendra beaucoup plus de temps que pour les activités de marchés. Car même si la base théorique bénéficie de l'expérience de la VaR marché, elle ne retrouvera pas dans les activités de crédit la structure d'accueil dont elle a bénéficié dans les activités de trading en matière de disponibilité des données et de culture mathématique des intervenants . La VaR est enfin un outil dans le dialogue avec les autorités de tutelle . Étant en général un bon instrument de gestion du risque, elle peut être acceptée par les autorités de contrôle bancaire pour l’application de ratios réglementaires. Le régulateur utilise ces indicateurs réglementaires de risques pour ses missions de surveillance. Et au-delà de la mise en conformité avec les dispositions édictées par les superviseurs, la publication de VaR est aussi utilisée comme outil de communication avec le marché pour mettre en valeur la capacité et la volonté des établissements à se mettre au diapason des standards de marché en termes de gestion du risque.