VaR d’un portefeuille d’actions

I- Concepts de base A- Facteurs de risque D’une manière générale, les grandes catégories de facteurs concernent : • Les taux d’intérêt ; • Les cours de change ; • Les prix des titres de propriété et de produits de base; • La volatilité des options correspondantes. Plus précisément, on peut définir les facteurs de risque comme « les paramètres de marché qui affectent la valeur des positions de négociation de l’établissement » , et propose un certain nombre de recommandations : 1. Pour les taux d’intérêt, un ensemble de facteurs de risque doit exister selon les types d’instruments et/ou catégories d’émetteurs. En plus des bandes de maturité c'est-à-dire les estimateurs qui permettent d’appréhender la variation de la volatilité des taux tout au long de l’échéancier après modélisation de la courbe des taux. 2. Pour les cours de change, on doit prévoir des facteurs correspondant au cours contre monnaie nationale de chaque devise. 3. Pour les titres de propriété, des facteurs de risque doivent exister pour chacun des marchés de titres de propriété. Au minimum, un facteur de risque doit appréhender les fluctuations des prix d’un marché donné (indice de marché). La meilleure méthode consisterait à prendre en compte la totalité des prix de titres pour définir les facteurs de risque. Cependant, ce type d’approche pose des problèmes statistiques importants. Pour cela, une méthode plus détaillée consiste à définir des facteurs de risque correspondant aux différents secteurs du marché. L’approche la plus complète consiste à retenir comme facteurs de risque les titres spécifiques. 4. Pour les produits de base, un facteur de risque unique peut être admis lorsque les positions sont faibles. En cas d’activité plus importante, les modèles doivent tenir compte des différences entre qualités du même produit et maturités. 5. Pour les options, on doit tenir compte des facteurs de risque appréhendant la volatilité des taux/prix/cours sous-jacents. Lorsque les positions sont importantes ou lorsque l’actif conditionnel est complexe, on doit utiliser des volatilités différenciées en fonction des échéances et le cas échéant des prix d’exercice. B- Positions d'un Portefeuille Quand on veut concevoir une mesure de la VaR, on doit décider quels actifs financiers seront représentés et combien représente chaque actif dans le portefeuille. Les positions d'actifs peuvent être mesurées de plusieurs manières. Souvent elles sont mesurées en terme de nombre d'actions émises. La capitalisation boursière équivalente aurait pu être utilisée. Les positions (holdings) d'un portefeuille sont des nombres indiquant le poids de chaque actif composant le portefeuille que l'on regroupe dans un vecteur ligne w . Ainsi par exemple un portefeuille composé de: 65% de BCE (nombre d’action 3000) 20% de BCI (nombre d’action 1500) 15% de BCP (nombre d’action 500) Les positions de portefeuille peuvent être représenter sous la forme d’un vecteur ligne comme suit : w (3000 ; 1500 ; 500) C- Mapping En mathématique, un Mapping est une fonction. Les deux termes sont équivalents. Dans le contexte de la VaR, on réserve le terme Mapping pour désigner les fonctions reliant les facteurs de risque spécifique entre eux. Le mapping des positions consiste à subdiviser les positions du portefeuille en un nombre limité d'instruments de base uniquement sensi¬bles à un facteur de risque bien déterminé et pour lesquels les données nécessaires sont dis¬ponibles . Lorsque une institution pratique une technique de mapping , elle doit décider des critères que cette procédure devra satisfaire. À titre d'exemple, RiskMetrics impose que la position simplifiée ait non seu¬lement la même valeur et la même variance que l'ancienne mais génère des cash-flows de même signe Le mapping du portefeuille joue un rôle simple mais important dans les mesures de la VaR, il permet de faciliter la mesure des risques et le calcul des variances et donc de la VaR, il s’agit d’exprimer la valeur du portefeuille Vp comme combinaison linéaire des valeurs des actifs qui le composent et qui seront exprimer à leurs tour en fonction d'un certain nombre de facteurs de risque limité et dont les données sont disponible (F1, F2,…) par conséquent on peut écrire : Supposons qu’on est à la date t = 0, Vp1 représente la valeur du portefeuille à la date t = 1. La variable aléatoire Vp1 peut être définit comme une fonction d'une certaine variable aléatoire S1 qu’on peut estimer en caractérisant la sa distribution de probabilité à partir de la matrice des données historiques. Dans le cas d’un portefeuille linière, on utilisé le mapping linière suivant : Par conséquent, l’utilisation de mapping du portefeuille est indispensable pour définir la valeur Vp1 de portefeuille. D- RiskMetric Durant les années 80, la banque américaine JP Morgan a développé un large système dédié à la VaR. Ce système a permis de modéliser plusieurs centaines de facteurs clé. De plus, une mise à jours trimestrielle de la matrice de covariance relative à ces facteurs était fournie régulièrement. Chaque jour, les traders pouvaient reporter par émail leurs positions en concordance avec les facteurs clé. Ces positions, était agrégées sous forme de portefeuille linéaire des facteurs clé. Par la suite, l'écart type du portefeuille était calculé. Plusieurs VaR Metrics étaient utilisées. Parmi lesquelles la VaR l jour à 95% en Dollar était la plus répandue. Elle repose sur l'hypothèse que la valeur du portefeuille est distribuée selon une loi Normale . Aujourd'hui, JB Morgan est incorporée dans un système global appelé RiskMetric. Ce dernier a pour vocation la promotion de la mesure de la VaR en publiant des documents et des guides techniques pour la construction de la mesure de la VaR ainsi qu'une mise à jour régulière de la matrice de covariance de plusieurs centaines de facteurs clé. E- La matrice des données historiques En considérant tous les facteurs de risque qui interviennent dans le calcul des prix des instruments financiers, nous avons la matrice de dimension mxk suivante : Où m est la taille de la série des données et k le nombre des facteurs de risque En calculant les rendements de chaque facteur de risque on trouve la matrice suivante :